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2cos^4(x)-2cos^2(x)=4cos^2(x)-1

Solución

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Solución

x = 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2.00519 \dots + 2 πn, x = - 2.00519 \dots + 2 πn

Grados

x = 65.11101 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 294.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 114.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 114.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Usando el método de sustitución

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Sea:

cos (x) = u

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1 : u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}, u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

Mover

1

al lado izquierdo

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

Sumar

1

a ambos lados

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2} - 1 + 1

Simplificar

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

Mover

4 u^{2}

al lado izquierdo

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

Restar

4 u^{2}

de ambos lados

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Simplificar

2 u^{4} - 6 u^{2} + 1 = 0

2 u^{4} - 6 u^{2} + 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Resolver

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0 : v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 6, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 27

(- 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 6^{2} - 8

6^{2} = 36

= 36 - 8

Restar:

36 - 8 = 28

= 28

Descomposición en factores primos de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 7 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 27

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 7}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2} : \frac{3 + 7}{2}

\frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 + 2 7}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6 + 2 7}{4}

Factorizar

6 + 27 : 2 (3 + 7)

6 + 27

Reescribir como

= 2 \cdot 3 + 27

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 + 7)

= \frac{2 ( 3 + 7 )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 + 7}{2}

v = \frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2} : \frac{3 - 7}{2}

\frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 - 2 7}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6 - 2 7}{4}

Factorizar

6 - 27 : 2 (3 - 7)

6 - 27

Reescribir como

= 2 \cdot 3 - 27

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 - 7)

= \frac{2 ( 3 - 7 )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 - 7}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = \frac{3 + 7}{2} : u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}

u^{2} = \frac{3 + 7}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{3 - 7}{2} : u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

u^{2} = \frac{3 - 7}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

Las soluciones son

u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}, u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = \frac{3 - 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = \frac{3 - 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = \frac{3 + 7}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = - \frac{3 + 7}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{3 - 7}{2} : x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2} : x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2.00519 \dots + 2 πn, x = - 2.00519 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

solvefor x,t^2=2sec(x)resolver para

x, t^{2} = 2 sec (x)

(8cos(x)-4)(sin(x))=0,0<= x<2pi

(8 cos (x) - 4) (sin (x)) = 0, 0 \leq x < 2 π

sin(x)=3511

sin (x) = 3511

tan^2(x)-1=4cos(x)

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

(10)/(sin(30))= 3/(sin(b))

\frac{10}{sin ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{3}{sin ( b )}