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3cos(x)+sin(x)=1

Solución

3 cos (x) + sin (x) = 1

Solución

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grados

x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos (x) + sin (x) = 1

Restar

sin (x)

de ambos lados

3 cos (x) = 1 - sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(3 cos (x))^{2} = (1 - sin (x))^{2}

Restar

(1 - sin (x))^{2}

de ambos lados

9 cos^{2} (x) - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 9 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 8

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) : 2 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 8

- 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 1 + 9

Sumar elementos similares:

- sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 10 sin^{2} (x)

= - 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 1 + 9

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 9 = 8

= 2 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 8

= 2 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 8

= 2 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 8

8 - 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

8 - 10 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

8 - 10 u^{2} + 2 u = 0

8 - 10 u^{2} + 2 u = 0 : u = - \frac{4}{5}, u = 1

8 - 10 u^{2} + 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 2 u + 8 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 10 u^{2} + 2 u + 8 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 10, b = 2, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

2^{2} - 4 (- 10) \cdot 8 = 18

2^{2} - 4 (- 10) \cdot 8

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Sumar:

4 + 320 = 324

= 324

Descomponer el número en factores primos:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 18}{2 ( - 10 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 18}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 18}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 2 + 18}{2 ( - 10 )} : - \frac{4}{5}

\frac{- 2 + 18}{2 ( - 10 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 18}{- 2 \cdot 10}

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 18 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 10}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{16}{- 20}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{20}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{4}{5}

u = \frac{- 2 - 18}{2 ( - 10 )} : 1

\frac{- 2 - 18}{2 ( - 10 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 18}{- 2 \cdot 10}

Restar:

- 2 - 18 = - 20

= \frac{- 20}{- 2 \cdot 10}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 20}{- 20}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{20}{20}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{4}{5}, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{4}{5}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

3 cos (x) + sin (x) = 1

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + sin (x) = 1

por

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) + sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + sin (x) = 1

por

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1

Simplificar

- 2.6 = 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + sin (x) = 1

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) + sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

cos^2(x)=(2+sqrt(3))/4

cos^{2} (x) = \frac{2 + 3}{4}

e^{cos(x)}sin^2(x)-e^{cos(x)}cos(x)=0

e^{c o s (x)} sin^{2} (x) - e^{c o s (x)} cos (x) = 0

2cot(x)+tan(x)=-2

2 cot (x) + tan (x) = - 2

sin(x)-sqrt(3)=0

sin (x) - 3 = 0

2tan(4x)=1

2 tan (4 x) = 1