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2sin(x)cos^2(x)-1+2cos^2(x)-sin(x)=0

Lösung

2 sin (x) cos^{2} (x) - 1 + 2 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) cos^{2} (x) - 1 + 2 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sin (x) + 2 cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Vereinfache

- 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

- 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= - 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 - 2 sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Multipliziere aus

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) \cdot 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Vereinfache

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= - 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Vereinfache

- 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

- 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) - 1 + 2

Addiere gleiche Elemente:

- sin (x) + 2 sin (x) = sin (x)

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{3} (x) - 1 + 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 2 = 1

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{3} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{3} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 + u - 2 u^{2} - 2 u^{3} = 0

1 + u - 2 u^{2} - 2 u^{3} = 0 : u = - 1, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

1 + u - 2 u^{2} - 2 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 2 u^{3} - 2 u^{2} + u + 1 = 0

Faktorisiere

- 2 u^{3} - 2 u^{2} + u + 1 : - (u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

- 2 u^{3} - 2 u^{2} + u + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u^{3} + 2 u^{2} - u - 1)

Faktorisiere

2 u^{3} + 2 u^{2} - u - 1 : (u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{3} + 2 u^{2} - u - 1

= (2 u^{3} + 2 u^{2}) + (- u - 1)

Klammere

- 1

aus

- u - 1

aus

: - (u + 1)

- u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u + 1)

Klammere

2 u^{2}

aus

2 u^{3} + 2 u^{2}

aus

: 2 u^{2} (u + 1)

2 u^{3} + 2 u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 2 u u^{2} + 2 u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

2 u^{2}

= 2 u^{2} (u + 1)

= - (u + 1) + 2 u^{2} (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (2 u^{2} - 1)

Faktorisiere

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Schreibe

2 u^{2} - 1

um:

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= (u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

= - (u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1)

- (u + 1) (2 u + 1) (2 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

Löse

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= u

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

Die Lösungen sind

u = - 1, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = - \frac{2}{2}, sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = - \frac{2}{2}, sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{2}{2} : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Beliebte Beispiele

tan^2(b)=3

tan^{2} (b) = 3

solvefor a,sin(a+b/2)=cos(c/2)löse nach

a, sin (a + \frac{b}{2}) = cos (\frac{c}{2})

tan(x)-cot(x)=2cot^2(x)

tan (x) - cot (x) = 2 cot^{2} (x)

cot((-x+3n)/4)=0

cot (\frac{- x + 3 n}{4}) = 0

sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)=1

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) = 1