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3sin(x)-4sin^3(x)=1-2sin^2(x)

Solución

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Usando el método de sustitución

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Sea:

sin (x) = u

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2} : u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Mover

2 u^{2}

al lado izquierdo

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Sumar

2 u^{2}

a ambos lados

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1 - 2 u^{2} + 2 u^{2}

Simplificar

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Mover

1

al lado izquierdo

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Restar

1

de ambos lados

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

Simplificar

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Factorizar

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 : - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1)

Factorizar

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1 : (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 4

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2, 4

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Cociente = 4 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Substraer

4 u^{3} - 4 u^{2}

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u^{2} - 3 u + 1

Por lo tanto

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{2} - 3 u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Cociente = 2 u

Multiplicar

u - 1

por

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substraer

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - 3 u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - u + 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividir

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- u + 1

y el divisor

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Cociente = - 1

Multiplicar

u - 1

por

- 1 : - u + 1

Substraer

- u + 1

- u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

= - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Sumar:

4 + 16 = 20

= 20

Descomposición en factores primos de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

divida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 5 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

Factorizar

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 25

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

Factorizar

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 25

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Las soluciones son

u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin^2(a)=((2tan(a)))/((1+tan^2(a)))

sin^{2} (a) = \frac{( 2 tan ( a ) )}{( 1 + tan ^{2} ( a ) )}

(tan(a))/2 = 2/11

\frac{tan ( a )}{2} = \frac{2}{11}

sin^2(x)-cos(x)= 1/2

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{2}

cos(x)[3sin(x)-2]=0

cos (x) [3 sin (x) - 2] = 0

sin^3(x)+sin(x)-4=0

sin^{3} (x) + sin (x) - 4 = 0