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((cos^3(a)))/((2cos^2(a)-1))=cos(a)

Solução

\frac{( cos ^{3} ( a ) )}{( 2 cos ^{2} ( a ) - 1 )} = cos (a)

Solução

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn, a = π + 2 πn, a = 2 πn

Graus

a = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{( cos ^{3} ( a ) )}{( 2 cos ^{2} ( a ) - 1 )} = cos (a)

Usando o método de substituição

\frac{cos ^{3} ( a )}{2 cos ^{2} ( a ) - 1} = cos (a)

Sea:

cos (a) = u

\frac{u ^{3}}{2 u ^{2} - 1} = u

\frac{u ^{3}}{2 u ^{2} - 1} = u : u = 0, u = - 1, u = 1

\frac{u ^{3}}{2 u ^{2} - 1} = u

Multiplicar ambos os lados por

2 u^{2} - 1

\frac{u ^{3}}{2 u ^{2} - 1} = u

Multiplicar ambos os lados por

2 u^{2} - 1

\frac{u ^{3}}{2 u ^{2} - 1} (2 u^{2} - 1) = u (2 u^{2} - 1)

Simplificar

u^{3} = u (2 u^{2} - 1)

u^{3} = u (2 u^{2} - 1)

Resolver

u^{3} = u (2 u^{2} - 1) : u = 0, u = - 1, u = 1

u^{3} = u (2 u^{2} - 1)

Expandir

u (2 u^{2} - 1) : 2 u^{3} - u

u (2 u^{2} - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 2 u^{2}, c = 1

= u \cdot 2 u^{2} - u \cdot 1

= 2 u^{2} u - 1 \cdot u

Simplificar

2 u^{2} u - 1 \cdot u : 2 u^{3} - u

2 u^{2} u - 1 \cdot u

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Somar:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

= 2 u^{3} - u

= 2 u^{3} - u

u^{3} = 2 u^{3} - u

Trocar lados

2 u^{3} - u = u^{3}

Mova

u^{3}

para o lado esquerdo

2 u^{3} - u = u^{3}

Subtrair

u^{3}

de ambos os lados

2 u^{3} - u - u^{3} = u^{3} - u^{3}

Simplificar

u^{3} - u = 0

u^{3} - u = 0

Fatorar

u^{3} - u : u (u + 1) (u - 1)

u^{3} - u

Fatorar o termo comum

u : u (u^{2} - 1)

u^{3} - u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= u^{2} u - u

Fatorar o termo comum

u

= u (u^{2} - 1)

= u (u^{2} - 1)

Fatorar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= u (u + 1) (u - 1)

u (u + 1) (u - 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

As soluções são

u = 0, u = - 1, u = 1

u = 0, u = - 1, u = 1

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{u ^{3}}{2 u ^{2} - 1}

e comparar com zero

Resolver

2 u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

2 u^{2} - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u^{2} - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u^{2} - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u^{2} = 1

2 u^{2} = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u^{2} = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Os seguintes pontos são indefinidos

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 0, u = - 1, u = 1

Substituir na equação

u = cos (a)

cos (a) = 0, cos (a) = - 1, cos (a) = 1

cos (a) = 0, cos (a) = - 1, cos (a) = 1

cos (a) = 0 : a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (a) = 0

Soluções gerais para

cos (a) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (a) = - 1 : a = π + 2 πn

cos (a) = - 1

Soluções gerais para

cos (a) = - 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = π + 2 πn

a = π + 2 πn

cos (a) = 1 : a = 2 πn

cos (a) = 1

Soluções gerais para

cos (a) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = 0 + 2 πn

a = 0 + 2 πn

Resolver

a = 0 + 2 πn : a = 2 πn

a = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

a = 2 πn

a = 2 πn

Combinar toda as soluções

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn, a = π + 2 πn, a = 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(x-45)=0

cos (x - 4 5^{\circ}) = 0

7tan^2(x)-15=0

7 tan^{2} (x) - 15 = 0

1+cos^2(x)-2cos^2(x/2)=0

1 + cos^{2} (x) - 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = 0

2cos^2(x)+5sin(x)=5

2 cos^{2} (x) + 5 sin (x) = 5

(h(sin^2(x)))/((cos(x)-1))=0

\frac{h ( sin ^{2} ( x ) )}{( cos ( x ) - 1 )} = 0