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5sec(x)-4cos(x)=8

Solución

5 sec (x) - 4 cos (x) = 8

Solución

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 sec (x) - 4 cos (x) = 8

Restar

8

de ambos lados

5 sec (x) - 4 cos (x) - 8 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 8 - 4 cos (x) + 5 sec (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 8 - 4 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + 5 sec (x)

4 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{4}{sec ( x )}

4 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{sec ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{sec ( x )}

= - 8 - \frac{4}{sec ( x )} + 5 sec (x)

- 8 - \frac{4}{sec ( x )} + 5 sec (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 8 - \frac{4}{sec ( x )} + 5 sec (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0 : u = 2, u = - \frac{2}{5}

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 8 u - \frac{4}{u} u + 5 uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 8 u - \frac{4}{u} u + 5 uu = 0 \cdot u

Simplificar

- \frac{4}{u} u : - 4

- \frac{4}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{4 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 4

Simplificar

5 uu : 5 u^{2}

5 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 5 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 5 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

Resolver

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0 : u = 2, u = - \frac{2}{5}

- 8 u - 4 + 5 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 8 u - 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

5 u^{2} - 8 u - 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 5, b = - 8, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 4 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 4 )}{2 \cdot 5}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 5 (- 4) = 12

(- 8)^{2} - 4 \cdot 5 (- 4)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 4 = 80

= 8^{2} + 80

8^{2} = 64

= 64 + 80

Sumar:

64 + 80 = 144

= 144

Descomponer el número en factores primos:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 2^{2} = 12

= 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 12}{2 \cdot 5}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 12}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 12}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 8 ) + 12}{2 \cdot 5} : 2

\frac{- ( - 8 ) + 12}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 + 12}{2 \cdot 5}

Sumar:

8 + 12 = 20

= \frac{20}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{20}{10}

Dividir:

\frac{20}{10} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 8 ) - 12}{2 \cdot 5} : - \frac{2}{5}

\frac{- ( - 8 ) - 12}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 - 12}{2 \cdot 5}

Restar:

8 - 12 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 4}{10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{2}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 2, u = - \frac{2}{5}

u = 2, u = - \frac{2}{5}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 8 - \frac{4}{u} + 5 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 2, u = - \frac{2}{5}

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = 2, sec (x) = - \frac{2}{5}

sec (x) = 2, sec (x) = - \frac{2}{5}

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2

Soluciones generales para

sec (x) = 2

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - \frac{2}{5} :

Sin solución

sec (x) = - \frac{2}{5}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

sin^3(x)=-1

sin^{3} (x) = - 1

solvefor x,sin^2(x)=((1-cos(y)))/2 resolver para

x, sin^{2} (x) = \frac{( 1 - cos ( y ) )}{2}

sin(x)+sin^2(x)+cos(x)+cos^2(x)=0

sin (x) + sin^{2} (x) + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

4cos^2(x)-4sin(x)-1=0

4 cos^{2} (x) - 4 sin (x) - 1 = 0

cos^2(x)+1=-2cos(x)

cos^{2} (x) + 1 = - 2 cos (x)