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tan^2(x)-2tan(x)=1

Solución

tan^{2} (x) - 2 tan (x) = 1

Solución

x = 1.17809 \dots + πn, x = - 0.39269 \dots + πn

Grados

x = 67. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 22. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan^{2} (x) - 2 tan (x) = 1

Usando el método de sustitución

tan^{2} (x) - 2 tan (x) = 1

Sea:

tan (x) = u

u^{2} - 2 u = 1

u^{2} - 2 u = 1 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

u^{2} - 2 u = 1

Mover

1

al lado izquierdo

u^{2} - 2 u = 1

Restar

1

de ambos lados

u^{2} - 2 u - 1 = 1 - 1

Simplificar

u^{2} - 2 u - 1 = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Sumar:

4 + 4 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Factorizar

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Factorizar

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Reescribir como

= 2 \cdot 1 - 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) = 1 + 2, tan (x) = 1 - 2

tan (x) = 1 + 2, tan (x) = 1 - 2

tan (x) = 1 + 2 : x = arctan (1 + 2) + πn

tan (x) = 1 + 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = 1 + 2

Soluciones generales para

tan (x) = 1 + 2

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (1 + 2) + πn

x = arctan (1 + 2) + πn

tan (x) = 1 - 2 : x = arctan (1 - 2) + πn

tan (x) = 1 - 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = 1 - 2

Soluciones generales para

tan (x) = 1 - 2

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (1 - 2) + πn

x = arctan (1 - 2) + πn

Combinar toda las soluciones

x = arctan (1 + 2) + πn, x = arctan (1 - 2) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.17809 \dots + πn, x = - 0.39269 \dots + πn

Ejemplos populares

sin(a)=0.25

sin (a) = 0.25

3tan^2(x+15)-1=0

3 tan^{2} (x + 1 5^{\circ}) - 1 = 0

3sin^4(x)+cos^4(x)=1

3 sin^{4} (x) + cos^{4} (x) = 1

sec(3x)=5

sec (3 x) = 5

3sin^2(x)+2sin(x)cos^2(x/2)-sin(x)=0

3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos^{2} (\frac{x}{2}) - sin (x) = 0