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3tan^2(y)=5sec(y)-1

Solución

3 tan^{2} (y) = 5 sec (y) - 1

Solución

y = \frac{π}{3} + 2 πn, y = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

y = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, y = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 tan^{2} (y) = 5 sec (y) - 1

Restar

5 sec (y) - 1

de ambos lados

3 tan^{2} (y) - 5 sec (y) + 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 + 3 tan^{2} (y) - 5 sec (y)

Utilizar la identidad pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= 1 + 3 (sec^{2} (y) - 1) - 5 sec (y)

Simplificar

1 + 3 (sec^{2} (y) - 1) - 5 sec (y) : 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) - 2

1 + 3 (sec^{2} (y) - 1) - 5 sec (y)

Expandir

3 (sec^{2} (y) - 1) : 3 sec^{2} (y) - 3

3 (sec^{2} (y) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = sec^{2} (y), c = 1

= 3 sec^{2} (y) - 3 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 sec^{2} (y) - 3

= 1 + 3 sec^{2} (y) - 3 - 5 sec (y)

Simplificar

1 + 3 sec^{2} (y) - 3 - 5 sec (y) : 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) - 2

1 + 3 sec^{2} (y) - 3 - 5 sec (y)

Agrupar términos semejantes

= 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) + 1 - 3

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 3 = - 2

= 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) - 2

= 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) - 2

= 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) - 2

- 2 + 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 + 3 sec^{2} (y) - 5 sec (y) = 0

Sea:

sec (y) = u

- 2 + 3 u^{2} - 5 u = 0

- 2 + 3 u^{2} - 5 u = 0 : u = 2, u = - \frac{1}{3}

- 2 + 3 u^{2} - 5 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 5 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

3 u^{2} - 5 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 3, b = - 5, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 2 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 2 )}{2 \cdot 3}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 3 (- 2) = 7

(- 5)^{2} - 4 \cdot 3 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Sumar:

25 + 24 = 49

= 49

Descomponer el número en factores primos:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 7}{2 \cdot 3}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 3} : 2

\frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 + 7}{2 \cdot 3}

Sumar:

5 + 7 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{12}{6}

Dividir:

\frac{12}{6} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 - 7}{2 \cdot 3}

Restar:

5 - 7 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 2, u = - \frac{1}{3}

Sustituir en la ecuación

u = sec (y)

sec (y) = 2, sec (y) = - \frac{1}{3}

sec (y) = 2, sec (y) = - \frac{1}{3}

sec (y) = 2 : y = \frac{π}{3} + 2 πn, y = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (y) = 2

Soluciones generales para

sec (y) = 2

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

y = \frac{π}{3} + 2 πn, y = \frac{5 π}{3} + 2 πn

y = \frac{π}{3} + 2 πn, y = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (y) = - \frac{1}{3} :

Sin solución

sec (y) = - \frac{1}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

y = \frac{π}{3} + 2 πn, y = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

((1-tan^2(a)))/((tan(a)))=2cot^2(a)

\frac{( 1 - tan ^{2} ( a ) )}{( tan ( a ) )} = 2 cot^{2} (a)

cos(6x)=cos(2x)

cos (6 x) = cos (2 x)

cot(x)cos(x)-sin(x)=1

cot (x) cos (x) - sin (x) = 1

cos^4(x)+cos^3(x)-2=0

cos^{4} (x) + cos^{3} (x) - 2 = 0

tan^2(x)= 1/(cos(x)+1)

tan^{2} (x) = \frac{1}{cos ( x ) + 1}