d/(dt)((w(t,x(w,t),y(w,t),z(w,t)))(x(w,t)^2+y(w,t)^2+z(w,t)^2))

解

\frac{d}{d t} ((w (t, x (w, t), y (w, t), z (w, t))) (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}))

w ((,,, (1 \cdot x (w, t) y (w, t) z (w, t) + (\frac{d}{d t} (x (w, t)) y (w, t) z (w, t) + (\frac{d}{d t} (y (w, t)) z (w, t) + \frac{d}{d t} (z (w, t)) y (w, t)) x (w, t)) t)) (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}) + ((\frac{d}{d t} (x (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) x (w, t)) + (\frac{d}{d t} (y (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) y (w, t)) + (\frac{d}{d t} (z (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) z (w, t))) (t, x (w, t), y (w, t), z (w, t)))

解答ステップ

\frac{d}{d t} ((w (t, x (w, t), y (w, t), z (w, t))) (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}))

w

を定数として扱う

定数を除去:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= w \frac{d}{d t} ((t, x (w, t), y (w, t), z (w, t)) (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}))

積の法則を適用:

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

f = t, x (w, t), y (w, t), z (w, t), g = x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}

= w (\frac{d}{d t} (t, x (w, t), y (w, t), z (w, t)) (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}) + \frac{d}{d t} (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}) (t, x (w, t), y (w, t), z (w, t)))

\frac{d}{d t} (t, x (w, t), y (w, t), z (w, t)) = (,,, (1 \cdot x (w, t) y (w, t) z (w, t) + (\frac{d}{d t} (x (w, t)) y (w, t) z (w, t) + (\frac{d}{d t} (y (w, t)) z (w, t) + \frac{d}{d t} (z (w, t)) y (w, t)) x (w, t)) t))

\frac{d}{d t} (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}) = (\frac{d}{d t} (x (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) x (w, t)) + (\frac{d}{d t} (y (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) y (w, t)) + (\frac{d}{d t} (z (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) z (w, t))

= w ((,,, (1 \cdot x (w, t) y (w, t) z (w, t) + (\frac{d}{d t} (x (w, t)) y (w, t) z (w, t) + (\frac{d}{d t} (y (w, t)) z (w, t) + \frac{d}{d t} (z (w, t)) y (w, t)) x (w, t)) t)) (x (w, t) (w, t)^{2} + y (w, t) (w, t)^{2} + z (w, t) (w, t)^{2}) + ((\frac{d}{d t} (x (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) x (w, t)) + (\frac{d}{d t} (y (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) y (w, t)) + (\frac{d}{d t} (z (w, t)) (w, t)^{2} + 2 (w, t) (w, 1) z (w, t))) (t, x (w, t), y (w, t), z (w, t)))