展開する (4e^tcos(t)-4e^tsin(t))^2

解

展開する

(4 e^{t} cos (t) - 4 e^{t} sin (t))^{2}

16 e^{2 t} (1 - sin (2 t))

解答ステップ

(4 e^{t} cos (t) - 4 e^{t} sin (t))^{2}

完全平方式を適用する:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 4 e^{t} cos (t), b = 4 e^{t} sin (t)

= (4 e^{t} cos (t))^{2} - 2 \cdot 4 e^{t} cos (t) \cdot 4 e^{t} sin (t) + (4 e^{t} sin (t))^{2}

簡素化

(4 e^{t} cos (t))^{2} - 2 \cdot 4 e^{t} cos (t) \cdot 4 e^{t} sin (t) + (4 e^{t} sin (t))^{2} : 16 e^{2 t} cos^{2} (t) - 32 e^{2 t} cos (t) sin (t) + 16 e^{2 t} sin^{2} (t)

= 16 e^{2 t} cos^{2} (t) - 32 e^{2 t} cos (t) sin (t) + 16 e^{2 t} sin^{2} (t)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 16 e^{2 t} (- 2 cos (t) sin (t) + 1)

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 16 e^{2 t} (1 - sin (2 t))

因数

16 e^{2 t} cos^{2} (t) - 32 e^{2 t} cos (t) sin (t) + 16 e^{2 t} sin^{2} (t) : 16 e^{2 t} (cos^{2} (t) - 2 cos (t) sin (t) + sin^{2} (t))

= 16 e^{2 t} (- sin (2 t) + 1)