簡約 ln((n!)/(x!(n-x)!)p^x(1-p)^{(n-x)})

解

簡約

ln (\frac{n !}{x ! ( n - x ) !} \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{(n - x)})

ln (n!) - ln (x!) - ln ((n - x)!) + x ln (p) + n ln (1 - p) - x ln (1 - p)

解答ステップ

ln (\frac{n !}{x ! ( n - x ) !} p^{x} (1 - p)^{(n - x)})

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (ab) = lo g_{c} (a) + lo g_{c} (b)

ln (\frac{n !}{x ! ( n - x ) !} p^{x} (1 - p)^{(n - x)}) = ln (\frac{n !}{x ! ( n - x ) !}) + ln (p^{x}) + ln ((1 - p)^{(n - x)})

= ln (\frac{n !}{x ! ( - x + n ) !}) + ln (p^{x}) + ln ((- p + 1)^{(- x + n)})

対数の規則を適用する:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

ln (p^{x}) = x ln (p)

= ln (\frac{n !}{x ! ( n - x ) !}) + x ln (p) + ln ((1 - p)^{n - x})

対数の規則を適用する:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

ln ((1 - p)^{n - x}) = (n - x) ln (1 - p)

= ln (\frac{n !}{x ! ( n - x ) !}) + x ln (p) + (n - x) ln (1 - p)

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (\frac{a}{b}) = lo g_{c} (a) - lo g_{c} (b)

ln (\frac{n !}{x ! ( n - x ) !}) = ln (n!) - ln (x! (n - x)!)

= ln (n!) - ln (x! (- x + n)!) + x ln (p) + ln (- p + 1) (- x + n)

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (ab) = lo g_{c} (a) + lo g_{c} (b)

ln (x! (n - x)!) = ln (x!) + ln ((n - x)!)

= ln (n!) - (ln ((- x + n)!) + ln (x!)) + x ln (p) + ln (- p + 1) (- x + n)

= ln (n!) - (ln (x!) + ln ((n - x)!)) + x ln (p) + ln (1 - p) (n - x)

- (ln (x!) + ln ((n - x)!)) : - ln (x!) - ln ((n - x)!)

= ln (n!) - ln (x!) - ln ((n - x)!) + x ln (p) + (n - x) ln (1 - p)

拡張

ln (1 - p) (n - x) : n ln (1 - p) - x ln (1 - p)

= ln (n!) - ln (x!) - ln ((n - x)!) + x ln (p) + n ln (1 - p) - x ln (1 - p)