展開する (e^{2x}-1)^4

解

展開する

(e^{2 x} - 1)^{4}

e^{8 x} - 4 e^{6 x} + 6 e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 1

解答ステップ

(e^{2 x} - 1)^{4}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{2 x}, b = - 1

= i = 0 \sum 4 (i 4) (e^{2 x})^{(4 - i)} (- 1)^{i}

総和を展開する

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{2 x})^{4} (- 1)^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{2 x})^{3} (- 1)^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{2 x})^{2} (- 1)^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{2 x})^{1} (- 1)^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{2 x})^{0} (- 1)^{4}

簡素化

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{2 x})^{4} (- 1)^{0} : e^{8 x}

簡素化

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{2 x})^{3} (- 1)^{1} : - 4 e^{6 x}

簡素化

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{2 x})^{2} (- 1)^{2} : 6 e^{4 x}

簡素化

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{2 x})^{1} (- 1)^{3} : - 4 e^{2 x}

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{2 x})^{0} (- 1)^{4} = 1

= e^{8 x} - 4 e^{6 x} + 6 e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 1