sum from n=1 to infinity of 1/(n^2+5n)

解

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 5 n}

は収束する

解答ステップ

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 5 n}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{n ^{2} + 5 n} : \frac{1}{5 n} - \frac{1}{5 ( n + 5 )}

= n = 1 \sum \infty \frac{1}{5 n} - \frac{1}{5 ( n + 5 )}

\frac{1}{5 n} - \frac{1}{5 ( n + 5 )}

の共役で乗じる

\frac{\frac{1}{25 n ^{2}} - \frac{1}{25 n ^{2} + 250 n + 625}}{\frac{1}{5 n} + \frac{1}{5 ( n + 5 )}}

= n = 1 \sum \infty \frac{\frac{1}{25 n ^{2}} - \frac{1}{25 n ^{2} + 250 n + 625}}{\frac{1}{5 n} + \frac{1}{5 ( n + 5 )}}

簡素化

\frac{\frac{1}{25 n ^{2}} - \frac{1}{25 n ^{2} + 250 n + 625}}{\frac{1}{5 n} + \frac{1}{5 ( n + 5 )}} : \frac{1}{n ( n + 5 )}

= n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 5 )}

級数比較テストを適用する:

は収束する

= は収束する