integral of (2x^2)/(2x^2+1)

Lösung

\int \frac{2 x ^{2}}{2 x ^{2} + 1} d x

- \frac{1}{2} arctan (2 x) + x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x ^{2}}{2 x ^{2} + 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x ^{2}}{2 x ^{2} + 1} d x

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2}}{2 2 ( u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2 2} \cdot \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} + 1} d u

\frac{u ^{2}}{u ^{2} + 1} = - \frac{1}{u ^{2} + 1} + 1

= 2 \cdot \frac{1}{2 2} \cdot \int - \frac{1}{u ^{2} + 1} + 1 d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2 2} (- \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u + \int 1 d u)

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

\int 1 d u = u

= 2 \cdot \frac{1}{2 2} (- arctan (u) + u)

Setze in

u = 2 x

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2 2} (- arctan (2 x) + 2 x)

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2 2} (- arctan (2 x) + 2 x) : - \frac{1}{2} arctan (2 x) + x

= - \frac{1}{2} arctan (2 x) + x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} arctan (2 x) + x + C

\int x (2 x^{2} - 1)^{4} d x

\frac{d}{d x} (2 x + y)

\frac{d}{d t} (t^{2} e^{- t})

x \cdot y^{2} \cdot y^{^{'}} = x^{3} + y^{3}

\int \frac{1}{1 + ( 2 x + 5 ) ^{2}} d x