inverselaplace 9/(s(s^2+9s+9))

解

逆ラプラス

\frac{9}{s ( s ^{2} + 9 s + 9 )}

H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{2}} sinh ( \frac{3 5 t}{2} )}{5}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{9}{s ( s ^{2} + 9 s + 9 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{9}{s ( s ^{2} + 9 s + 9 )} : \frac{1}{s} + \frac{- s - 9}{s ^{2} + 9 s + 9}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 9}{s ^{2} + 9 s + 9}}

拡張

\frac{- s - 9}{s ^{2} + 9 s + 9} : - \frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}} - \frac{9}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{9}{2}}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}} : e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{9}{2} ) ^{2} - \frac{45}{4}}} : e^{- \frac{9 t}{2}} \frac{2}{3 5} sinh (\frac{3 5 t}{2})

= H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{9}{2} e^{- \frac{9 t}{2}} \frac{2}{3 5} sinh (\frac{3 5 t}{2})

改良

H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{9}{2} e^{- \frac{9 t}{2}} \frac{2}{3 5} sinh (\frac{3 5 t}{2}) : H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{2}} sinh ( \frac{3 5 t}{2} )}{5}

= H (t) - e^{- \frac{9 t}{2}} cosh (\frac{3 5 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{2}} sinh ( \frac{3 5 t}{2} )}{5}