integral of-ln|cos(x)|

解

\int - ln ∣ cos (x) ∣ d x

- x ln ∣ cos (x) ∣ - i \frac{1}{2} Li_{2} (- e^{2 i x}) - i \frac{1}{2} x^{2} + x ln (1 + cos (2 x) + i sin (2 x)) + C

解答ステップ

\int - ln ∣ cos (x) ∣ d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int ln ∣ cos (x) ∣ d x

部分積分を適用する

= - (x ln ∣ cos (x) ∣ - \int - x tan (x) d x)

\int - x tan (x) d x = - i \frac{1}{2} Li_{2} (- e^{2 i x}) - i \frac{1}{2} x^{2} + x ln (1 + cos (2 x) + i sin (2 x))

= - (x ln ∣ cos (x) ∣ - (- i \frac{1}{2} Li_{2} (- e^{2 i x}) - i \frac{1}{2} x^{2} + x ln (1 + cos (2 x) + i sin (2 x))))

簡素化

= - x ln ∣ cos (x) ∣ - i \frac{1}{2} Li_{2} (- e^{2 i x}) - i \frac{1}{2} x^{2} + x ln (1 + cos (2 x) + i sin (2 x))

定数を解答に追加する

= - x ln ∣ cos (x) ∣ - i \frac{1}{2} Li_{2} (- e^{2 i x}) - i \frac{1}{2} x^{2} + x ln (1 + cos (2 x) + i sin (2 x)) + C