integral of sin^5(4x)cos^3(4x)

Lösung

\int sin^{5} (4 x) cos^{3} (4 x) d x

\frac{1}{4} (- \frac{cos ^{4} ( 4 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 4 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 4 x )}{8}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{5} (4 x) cos^{3} (4 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{5} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{4} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int sin^{5} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{4} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{4} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2})^{2} d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2})^{2} : - v^{3} + 2 v^{5} - v^{7}

= \frac{1}{4} \cdot \int - v^{3} + 2 v^{5} - v^{7} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{4} (- \int v^{3} d v + \int 2 v^{5} d v - \int v^{7} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int 2 v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{3}

\int v^{7} d v = \frac{v ^{8}}{8}

= \frac{1}{4} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{3} - \frac{v ^{8}}{8})

Ersetze zurück

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ^{4} ( 4 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 4 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 4 x )}{8})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ^{4} ( 4 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 4 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 4 x )}{8}) + C

d er i v a t i v e f (x) = x^{4} + 2 x

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (e^{c o s (x)})

\int - \frac{1}{1 + 9 x ^{2}} d x

\int (2 x + 2)^{- 1} d x

\int - 5 x^{2} sin (π x) d x