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integral of sin^6(ax)

Lösung

\int sin^{6} (a x) d x

Lösung

\frac{1}{a} (- \frac{cos ( a x ) sin ^{5} ( a x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (a x) cos (a x) + \frac{3}{8} (a x - \frac{1}{2} sin (2 a x)))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{6} (a x) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{sin ^{6} ( u )}{a} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int sin^{6} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{1}{a} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} \cdot \int sin^{4} (u) d u)

\int sin^{4} (u) d u = - \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= \frac{1}{a} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))

Setze in

u = a x

ein

= \frac{1}{a} (- \frac{cos ( a x ) sin ^{5} ( a x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (a x) cos (a x) + \frac{3}{8} (a x - \frac{1}{2} sin (2 a x))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{a} (- \frac{cos ( a x ) sin ^{5} ( a x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (a x) cos (a x) + \frac{3}{8} (a x - \frac{1}{2} sin (2 a x)))) + C

Graph

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