integral of 1/(2x^2+2x+3)

Lösung

\int \frac{1}{2 x ^{2} + 2 x + 3} d x

\frac{1}{5} arctan (\frac{2 x + 1}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 x ^{2} + 2 x + 3} d x

Vervollständige das Quadrat

2 x^{2} + 2 x + 3 : 2 (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{2}

= \int \frac{1}{2 ( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{5}{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{4 u ^{2} + 5} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 5} d u

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 5 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2 5} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{2 5} arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2 5} arctan (\frac{2}{5} (x + \frac{1}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2 5} arctan (\frac{2}{5} (x + \frac{1}{2})) : \frac{1}{5} arctan (\frac{2 x + 1}{5})

= \frac{1}{5} arctan (\frac{2 x + 1}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{5} arctan (\frac{2 x + 1}{5}) + C

\int \frac{x}{3 x - x ^{2}} d x

\int sin^{4} (6 x) cos^{2} (6 x) d x

\int t^{2} e^{7 t} d t

\int (\frac{- 4 x - 2}{( x - 3 ) ^{2}}) d x

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + 3 cos ( x )} d x