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人気のある微分積分 >

integral of x/(2x^2+3x+1)

解

\int \frac{x}{2 x ^{2} + 3 x + 1} d x

解

2 (\frac{1}{8} ln 16 x^{2} + 24 x + 8 + \frac{3}{8} (ln ∣ 4 x + 4 ∣ - ln ∣ 4 x + 2 ∣)) + C

解答ステップ

\int \frac{x}{2 x ^{2} + 3 x + 1} d x

平方完成する

2 x^{2} + 3 x + 1 : 2 (x + \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{8}

= \int \frac{x}{2 ( x + \frac{3}{4} ) ^{2} - \frac{1}{8}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2 ( 4 u - 3 )}{16 u ^{2} - 1} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{4 u - 3}{16 u ^{2} - 1} d u

拡張

\frac{4 u - 3}{16 u ^{2} - 1} : \frac{4 u}{16 u ^{2} - 1} - \frac{3}{16 u ^{2} - 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{4 u}{16 u ^{2} - 1} d u - \int \frac{3}{16 u ^{2} - 1} d u)

\int \frac{4 u}{16 u ^{2} - 1} d u = \frac{1}{8} ln 16 u^{2} - 1

\int \frac{3}{16 u ^{2} - 1} d u = - \frac{3}{8} (ln ∣ 4 u + 1 ∣ - ln ∣ 4 u - 1 ∣)

= 2 (\frac{1}{8} ln 16 u^{2} - 1 - (- \frac{3}{8} (ln ∣ 4 u + 1 ∣ - ln ∣ 4 u - 1 ∣)))

代用を戻す

u = x + \frac{3}{4}

= 2 (\frac{1}{8} ln 16 (x + \frac{3}{4})^{2} - 1 - (- \frac{3}{8} (ln 4 (x + \frac{3}{4}) + 1 - ln 4 (x + \frac{3}{4}) - 1)))

簡素化

2 (\frac{1}{8} ln 16 (x + \frac{3}{4})^{2} - 1 - (- \frac{3}{8} (ln 4 (x + \frac{3}{4}) + 1 - ln 4 (x + \frac{3}{4}) - 1))) : 2 (\frac{1}{8} ln 16 x^{2} + 24 x + 8 + \frac{3}{8} (ln ∣ 4 x + 4 ∣ - ln ∣ 4 x + 2 ∣))

= 2 (\frac{1}{8} ln 16 x^{2} + 24 x + 8 + \frac{3}{8} (ln ∣ 4 x + 4 ∣ - ln ∣ 4 x + 2 ∣))

定数を解答に追加する

= 2 (\frac{1}{8} ln 16 x^{2} + 24 x + 8 + \frac{3}{8} (ln ∣ 4 x + 4 ∣ - ln ∣ 4 x + 2 ∣)) + C

グラフ

人気の例

integral of 1/((x^2+2^2)^{3/2)}

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

integral of (x+x^3)e^x

\int (x + x^{3}) e^{x} d x

integral of ((36x^3-109x^2+25)/(3x-5))

\int (\frac{36 x ^{3} - 109 x ^{2} + 25}{3 x - 5}) d x

integral of csc^2(a-bx)

\int csc^{2} (a - b x) d x

integral of 10x(x^2+1)^4

\int 10 x (x^{2} + 1)^{4} d x