integral of xsin(x)cos(nx)

解

\int x sin (x) cos (n x) d x

\frac{1}{2} x (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x)) + C

解答ステップ

\int x sin (x) cos (n x) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} x (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) - \int \frac{1}{2} (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) d x

\int \frac{1}{2} (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x))

= \frac{1}{2} x (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} x (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{( 1 + n ) ^{2}} sin (x + n x) - \frac{1}{( 1 - n ) ^{2}} sin (x - n x)) + C