integral of 1/(x^2+sqrt(2)x+1)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1} d x

2 arctan (2 x + 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 2 x + 1 : (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}

= \int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{2 u ^{2} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 u ^{2} + 1} d u

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (2 (x + \frac{1}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} arctan (2 (x + \frac{1}{2})) : 2 arctan (2 x + 1)

= 2 arctan (2 x + 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 arctan (2 x + 1) + C

\int 5 x^{2} - 3 x d x

\int u^{2} 1 - u^{3} d u

\int cos (4) (x) d x

\int \frac{1}{( x ( 1 + x ) )} d x

\int 2 cos (x) + \frac{5}{x} d x