integral of (x+1)^2*3^{-x}

解

\int (x + 1)^{2} \cdot 3^{- x} d x

- \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )} + C

解答ステップ

\int (x + 1)^{2} \cdot 3^{- x} d x

拡張

(x + 1)^{2} \cdot 3^{- x} : 3^{- x} x^{2} + 2 \cdot 3^{- x} x + 3^{- x}

= \int 3^{- x} x^{2} + 2 \cdot 3^{- x} x + 3^{- x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 3^{- x} x^{2} d x + \int 2 \cdot 3^{- x} x d x + \int 3^{- x} d x

\int 3^{- x} x^{2} d x = - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x}

\int 2 \cdot 3^{- x} x d x = 2 (- \frac{3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x})

\int 3^{- x} d x = - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

= - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} + 2 (- \frac{3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x}) - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

簡素化

- \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} + 2 (- \frac{3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} - \frac{1}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x}) - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )} : - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

= - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )}

定数を解答に追加する

= - \frac{3 ^{- x} x ^{2}}{ln ( 3 )} - \frac{2}{ln ^{2} ( 3 )} \cdot 3^{- x} x - \frac{2 \cdot 3 ^{- x} x}{ln ( 3 )} + \frac{- 2 - 2 ln ( 3 )}{ln ^{3} ( 3 )} \cdot 3^{- x} - \frac{3 ^{- x}}{ln ( 3 )} + C