integral of x(pi-x)sin(nx)

解

\int x (π - x) sin (n x) d x

- \frac{π}{n} x cos (n x) + \frac{π}{n ^{2}} sin (n x) + \frac{1}{n} x^{2} cos (n x) - \frac{2}{n ^{2}} x sin (n x) - \frac{2}{n ^{3}} cos (n x) + C

解答ステップ

\int x (π - x) sin (n x) d x

拡張

x (π - x) sin (n x) : π x sin (n x) - x^{2} sin (n x)

= \int π x sin (n x) - x^{2} sin (n x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int π x sin (n x) d x - \int x^{2} sin (n x) d x

\int π x sin (n x) d x = π (- \frac{1}{n} x cos (n x) + \frac{1}{n ^{2}} sin (n x))

\int x^{2} sin (n x) d x = - \frac{1}{n} x^{2} cos (n x) + \frac{2}{n ^{3}} (n x sin (n x) + cos (n x))

= π (- \frac{1}{n} x cos (n x) + \frac{1}{n ^{2}} sin (n x)) - (- \frac{1}{n} x^{2} cos (n x) + \frac{2}{n ^{3}} (n x sin (n x) + cos (n x)))

簡素化

π (- \frac{1}{n} x cos (n x) + \frac{1}{n ^{2}} sin (n x)) - (- \frac{1}{n} x^{2} cos (n x) + \frac{2}{n ^{3}} (n x sin (n x) + cos (n x))) : - \frac{π}{n} x cos (n x) + \frac{π}{n ^{2}} sin (n x) + \frac{1}{n} x^{2} cos (n x) - \frac{2}{n ^{2}} x sin (n x) - \frac{2}{n ^{3}} cos (n x)

= - \frac{π}{n} x cos (n x) + \frac{π}{n ^{2}} sin (n x) + \frac{1}{n} x^{2} cos (n x) - \frac{2}{n ^{2}} x sin (n x) - \frac{2}{n ^{3}} cos (n x)

定数を解答に追加する

= - \frac{π}{n} x cos (n x) + \frac{π}{n ^{2}} sin (n x) + \frac{1}{n} x^{2} cos (n x) - \frac{2}{n ^{2}} x sin (n x) - \frac{2}{n ^{3}} cos (n x) + C