integral of x^2e^{-1/2 x^2}

解

\int x^{2} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} d x

- e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x + \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}) + C

解答ステップ

\int x^{2} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} d x

簡素化

- \frac{1}{2} x^{2} : - \frac{x ^{2}}{2}

= \int x^{2} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

簡素化

x^{2} : xx

= \int xx e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

部分積分を適用する

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x - \int - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

\int - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x = - \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x - (- \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}))

簡素化

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x + \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

定数を解答に追加する

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x + \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}) + C