integral of x^2e^{-1/2 x^2}

解答

\int x^{2} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} d x

- e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x + \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}) + C

求解步骤

\int x^{2} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} d x

化简

- \frac{1}{2} x^{2} : - \frac{x ^{2}}{2}

= \int x^{2} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

化简

x^{2} : xx

= \int xx e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

使用分布积分法

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x - \int - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

\int - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x = - \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x - (- \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}))

化简

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x + \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

解答补常数

= - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x + \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}) + C

\int 4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{- \frac{1}{3}} d x

\int x^{3} + \frac{1}{x} - 7 d x

\int \frac{2 ^{x}}{1 + 4 ^{x}} d x

\int (1 + t^{2})^{\frac{1}{2}} d t

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ( e ^{x} - 3 )} d x