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integral of (1+t^2)^{1/2}

解

\int (1 + t^{2})^{\frac{1}{2}} d t

解

\frac{1}{2} t (t^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} ln t + 1 + t^{2} + C

解答ステップ

\int (1 + t^{2})^{\frac{1}{2}} d t

三角関数による置換を適用する

= \int sec^{3} (u) d u

積分換算を適用する

= \frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (u) d u

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

代用を戻す

u = arctan (t)

= \frac{sec ^{2} ( arctan ( t ) ) sin ( arctan ( t ) )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (t)) + sec (arctan (t)) ∣

簡素化

\frac{sec ^{2} ( arctan ( t ) ) sin ( arctan ( t ) )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (t)) + sec (arctan (t)) ∣ : \frac{1}{2} t (t^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} ln t + 1 + t^{2}

= \frac{1}{2} t (t^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} ln t + 1 + t^{2}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} t (t^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} ln t + 1 + t^{2} + C

グラフ

人気の例

integral of (e^x)/((e^{2x)+1)(e^x-3)}

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

integral of-x^2-2

\int - x^{2} - 2 d x

integral of arctan(sqrt(x-1))

\int arctan (x - 1) d x

integral of x^2(8x^3-9)^6

\int x^{2} (8 x^{3} - 9)^{6} d x

integral of (x^{3+1/7})/7

\int \frac{x ^{3 + \frac{1}{7}}}{7} d x