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人気のある微分積分 >

integral of (e^x)/((e^{2x)+1)(e^x-3)}

解

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

解

\frac{1}{10} (- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 3 arctan (e^{x})) + \frac{1}{10} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ( e ^{x} - 3 )} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ( u - 3 )} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ( u - 3 )} : \frac{- u - 3}{10 ( u ^{2} + 1 )} + \frac{1}{10 ( u - 3 )}

= \int \frac{- u - 3}{10 ( u ^{2} + 1 )} + \frac{1}{10 ( u - 3 )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{- u - 3}{10 ( u ^{2} + 1 )} d u + \int \frac{1}{10 ( u - 3 )} d u

\int \frac{- u - 3}{10 ( u ^{2} + 1 )} d u = \frac{1}{10} (- \frac{1}{2} ln u^{2} + 1 - 3 arctan (u))

\int \frac{1}{10 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{10} ln ∣ u - 3 ∣

= \frac{1}{10} (- \frac{1}{2} ln u^{2} + 1 - 3 arctan (u)) + \frac{1}{10} ln ∣ u - 3 ∣

代用を戻す

u = e^{x}

= \frac{1}{10} (- \frac{1}{2} ln (e^{x})^{2} + 1 - 3 arctan (e^{x})) + \frac{1}{10} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

指数の規則を適用する:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= \frac{1}{10} (- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 3 arctan (e^{x})) + \frac{1}{10} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{1}{10} (- \frac{1}{2} ln e^{2 x} + 1 - 3 arctan (e^{x})) + \frac{1}{10} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

グラフ

人気の例

integral of-x^2-2

\int - x^{2} - 2 d x

integral of arctan(sqrt(x-1))

\int arctan (x - 1) d x

integral of x^2(8x^3-9)^6

\int x^{2} (8 x^{3} - 9)^{6} d x

integral of (x^{3+1/7})/7

\int \frac{x ^{3 + \frac{1}{7}}}{7} d x

integral of-10sin(10x)

\int - 10 sin (10 x) d x