integral of (3x)/((x+5)^2)

Lösung

\int \frac{3 x}{( x + 5 ) ^{2}} d x

3 (ln ∣ x + 5 ∣ + \frac{5}{x + 5}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x}{( x + 5 ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{x}{( x + 5 ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{u - 5}{u ^{2}} d u

Multipliziere aus

\frac{u - 5}{u ^{2}} : \frac{1}{u} - \frac{5}{u ^{2}}

= 3 \cdot \int \frac{1}{u} - \frac{5}{u ^{2}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (\int \frac{1}{u} d u - \int \frac{5}{u ^{2}} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{5}{u ^{2}} d u = - \frac{5}{u}

= 3 (ln ∣ u ∣ - (- \frac{5}{u}))

Setze in

u = x + 5

ein

= 3 (ln ∣ x + 5 ∣ - (- \frac{5}{x + 5}))

Vereinfache

= 3 (ln ∣ x + 5 ∣ + \frac{5}{x + 5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 (ln ∣ x + 5 ∣ + \frac{5}{x + 5}) + C

\int \frac{1}{6 x ^{2} - 5 x - 6} d x

\int \frac{2}{4 x ^{2} + 3} d x

\int t^{2} - 3 t + 2 d t

\int 2 x \cdot x^{2} d x

\int x^{3} e^{- \frac{x}{c}} d x