integral of x^3e^{-x/c}

Lösung

\int x^{3} e^{- \frac{x}{c}} d x

c^{4} (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{3}}{c ^{3}} - 3 (\frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{2}}{c ^{2}} - 2 (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x}{c} - e^{- \frac{x}{c}}))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{3} e^{- \frac{x}{c}} d x

Wende U-Substitution an

= \int c^{4} e^{u} u^{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= c^{4} \cdot \int e^{u} u^{3} d u

Wende die partielle Integration an

= c^{4} (u^{3} e^{u} - \int 3 u^{2} e^{u} d u)

\int 3 u^{2} e^{u} d u = 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))

= c^{4} (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))

Setze in

u = - \frac{x}{c}

ein

= c^{4} ((- \frac{x}{c})^{3} e^{- \frac{x}{c}} - 3 ((- \frac{x}{c})^{2} e^{- \frac{x}{c}} - 2 (e^{- \frac{x}{c}} (- \frac{x}{c}) - e^{- \frac{x}{c}})))

Vereinfache

c^{4} ((- \frac{x}{c})^{3} e^{- \frac{x}{c}} - 3 ((- \frac{x}{c})^{2} e^{- \frac{x}{c}} - 2 (e^{- \frac{x}{c}} (- \frac{x}{c}) - e^{- \frac{x}{c}}))) : c^{4} (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{3}}{c ^{3}} - 3 (\frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{2}}{c ^{2}} - 2 (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x}{c} - e^{- \frac{x}{c}})))

= c^{4} (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{3}}{c ^{3}} - 3 (\frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{2}}{c ^{2}} - 2 (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x}{c} - e^{- \frac{x}{c}})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= c^{4} (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{3}}{c ^{3}} - 3 (\frac{e ^{- \frac{x}{c}} x ^{2}}{c ^{2}} - 2 (- \frac{e ^{- \frac{x}{c}} x}{c} - e^{- \frac{x}{c}}))) + C

\int \frac{5}{( x - 4 ) ^{2}} d x

\int \frac{6}{x} + 2 π d x

\int \frac{9}{5 ^{2} + x ^{2}} d x

\int (x) (cos (x)) d x

\int - 16 sin^{2} (t) d t