integral of 1/(sqrt((2x-1)(2x+1)))

Lösung

\int \frac{1}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} d x

\frac{1}{2} ln 4 x^{2} - 1 + 2 x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} d x

Multipliziere mit der Konjugation von

2 x - 1 : \frac{4 x ^{2} - 1}{2 x + 1}

= \int \frac{1}{\frac{4 x ^{2} - 1}{2 x + 1} ( 2 x + 1 )} d x

Multipliziere

\frac{4 x ^{2} - 1}{2 x + 1} (2 x + 1) : 4 x^{2} - 1

= \int \frac{1}{4 x ^{2} - 1} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{sec ( u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sec (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

Setze in

u = arcsec (2 x)

ein

= \frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (2 x)) + sec (arcsec (2 x)) ∣

Vereinfache

\frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (2 x)) + sec (arcsec (2 x)) ∣ : \frac{1}{2} ln 4 x^{2} - 1 + 2 x

= \frac{1}{2} ln 4 x^{2} - 1 + 2 x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln 4 x^{2} - 1 + 2 x + C

\int x cos (x^{2} + 1) + \frac{x}{x ^{2} + 1} d x

\int \frac{1}{x ( 9 x + 4 )} d x

\int (e^{5 - 2 t}) d t

\int sin^{7} (x) \cdot cos^{2} (x) d x

\int \frac{x ^{5}}{( 3 - x ^{2} ) ^{4}} d x