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integral of sqrt((1+2x)/(1-2x))

Lösung

\int \frac{1 + 2 x}{1 - 2 x} d x

- arcsin (\frac{1}{2} (- 2 x + 1)) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{- 2 x + 1}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1 + 2 x}{1 - 2 x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u}{2 - u + 2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u}{- u + 2} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - 2 - v^{2} + 2 d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot \int - v^{2} + 2 d v)

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot \int 2 cos^{2} (w) d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot 2 \cdot \int cos^{2} (w) d w)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 w )}{2} d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 w) d w)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d w + \int cos (2 w) d w))

\int 1 d w = w

\int cos (2 w) d w = \frac{1}{2} sin (2 w)

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (w + \frac{1}{2} sin (2 w)))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} - (1 + 2 x) + 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} - (1 + 2 x) + 2))))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} - (1 + 2 x) + 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} - (1 + 2 x) + 2)))) : - arcsin (\frac{1}{2} (- 2 x + 1)) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{- 2 x + 1}{2}))

= - arcsin (\frac{1}{2} (- 2 x + 1)) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{- 2 x + 1}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - arcsin (\frac{1}{2} (- 2 x + 1)) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{- 2 x + 1}{2})) + C

\int \frac{cos ( 4 x )}{8} d x

\int \frac{x ^{4}}{( x ^{2} - 1 ) ( x - 2 )} d x

\int \frac{sinh ( e ^{- \frac{x}{2}} )}{e ^{\frac{x}{2}}} d x

\int r ln (\frac{2 r}{g}) d r

\int (x^{4} - 2 x)^{5} (2 x^{3} - 1) d x