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integral of x^2e^{-sqrt(x)}

解答

\int x^{2} e^{- x} d x

解答

2 (- e^{- x} x^{\frac{5}{2}} - 5 (e^{- x} x^{2} - 4 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))))) + C

求解步骤

\int x^{2} e^{- x} d x

使用换元积分法

= \int 2 e^{- u} u^{5} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u} u^{5} d u

使用换元积分法

= 2 \cdot \int e^{v} v^{5} d v

使用分布积分法

= 2 (v^{5} e^{v} - \int 5 v^{4} e^{v} d v)

\int 5 v^{4} e^{v} d v = 5 (v^{4} e^{v} - 4 (v^{3} e^{v} - 3 (v^{2} e^{v} - 2 (e^{v} v - e^{v}))))

= 2 (v^{5} e^{v} - 5 (v^{4} e^{v} - 4 (v^{3} e^{v} - 3 (v^{2} e^{v} - 2 (e^{v} v - e^{v})))))

代回

= 2 ((- x)^{5} e^{- x} - 5 ((- x)^{4} e^{- x} - 4 ((- x)^{3} e^{- x} - 3 ((- x)^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x})))))

化简

2 ((- x)^{5} e^{- x} - 5 ((- x)^{4} e^{- x} - 4 ((- x)^{3} e^{- x} - 3 ((- x)^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}))))) : 2 (- e^{- x} x^{\frac{5}{2}} - 5 (e^{- x} x^{2} - 4 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))))

= 2 (- e^{- x} x^{\frac{5}{2}} - 5 (e^{- x} x^{2} - 4 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))))

解答补常数

= 2 (- e^{- x} x^{\frac{5}{2}} - 5 (e^{- x} x^{2} - 4 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))))) + C

作图

流行的例子

integral of tan^3(x)cos^3(x)

\int tan^{3} (x) cos^{3} (x) d x

integral of 1/(sin(3x)tan(3x))

\int \frac{1}{sin ( 3 x ) tan ( 3 x )} d x

integral of (8p^2)/((p^3+2)^3)

\int \frac{8 p ^{2}}{( p ^{3} + 2 ) ^{3}} d p

integral of (x^3)/((sqrt(1-x^2)))

\int \frac{x ^{3}}{( 1 - x ^{2} )} d x

integral of (e^{3x}+1)^{10}e^{3x}

\int (e^{3 x} + 1)^{10} e^{3 x} d x