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integral of (64)/((x^2+4)^2)

Lösung

\int \frac{64}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

4 (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{64}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \int \frac{1}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= 64 \cdot \int \frac{1}{8 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2})))

Vereinfache

64 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2}))) : 4 (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2})))

= 4 (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (arctan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{2}))) + C

\int \frac{5}{( t ^{2} - 25 ) ^{2}} d t

\int \frac{20 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{2 x}{( 2 x - 1 ) ^{2}} d x

\int 7 cos (2 x) d x

\int (- 1)^{x - 1} d x