integral of 1/((x^2-y^2))

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - y ^{2} )} d x

- \frac{1}{2 y} (ln \frac{x}{y} + 1 - ln \frac{x}{y} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - y ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{y ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \frac{1}{y} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{y} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{x}{y}

ein

= \frac{1}{y} - \frac{ln \frac{x}{y} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{y} - 1}{2}

Vereinfache

\frac{1}{y} - \frac{ln \frac{x}{y} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{y} - 1}{2} : - \frac{1}{2 y} (ln \frac{x}{y} + 1 - ln \frac{x}{y} - 1)

= - \frac{1}{2 y} (ln \frac{x}{y} + 1 - ln \frac{x}{y} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2 y} (ln \frac{x}{y} + 1 - ln \frac{x}{y} - 1) + C

\int \frac{e ^{2 θ}}{1 + 3 e ^{2 θ}} d θ

\int \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 1} d x

\int \frac{x}{x ^{2} x ^{2} + 1} d x

\int ((8 - x) (8 + x)) d x

\int x^{3} ln (x) + cos (3 x + 2) d x