integral of x^2sqrt(12-x^2)

Lösung

\int x^{2} 12 - x^{2} d x

18 (arcsin (\frac{1}{2 3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 12 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 144 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 144 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 144 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 144 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 144 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 144 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2 3} x)

ein

= 144 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{2 3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 3} x)))

Vereinfache

144 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{2 3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 3} x))) : 18 (arcsin (\frac{1}{2 3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 3} x)))

= 18 (arcsin (\frac{1}{2 3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 18 (arcsin (\frac{1}{2 3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2 3} x))) + C

\int \frac{1}{9 - t ^{2}} d t

in t e g r a l cos (4 x)

\int \frac{4}{x + x} d x

\int cos (\frac{2 nπ x}{3}) d x

\int (5 x^{2} - 2 sin (x)) d x