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integral de csc^3(2t-3)

Solução

\int csc^{3} (2 t - 3) d t

Solução

\frac{1}{16} (- cot^{2} (\frac{2 t - 3}{2}) + 4 ln tan (\frac{2 t - 3}{2}) + tan^{2} (\frac{2 t - 3}{2})) + C

Passos da solução

\int csc^{3} (2 t - 3) d t

Aplicar integração por substituição

: \int csc^{3} (u) \frac{1}{2} d u

= \int csc^{3} (u) \frac{1}{2} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int csc^{3} (u) d u

Aplicar integração por substituição

: \int \frac{( 1 + v ^{2} ) ^{2}}{4 v ^{3}} d v

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{( 1 + v ^{2} ) ^{2}}{4 v ^{3}} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{( 1 + v ^{2} ) ^{2}}{v ^{3}} d v

Expandir

\frac{( 1 + v ^{2} ) ^{2}}{v ^{3}} : \frac{1}{v ^{3}} + \frac{2}{v} + v

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{v ^{3}} + \frac{2}{v} + v d v

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (\int \frac{1}{v ^{3}} d v + \int \frac{2}{v} d v + \int v d v)

\int \frac{1}{v ^{3}} d v = - \frac{1}{2 v ^{2}}

\int \frac{2}{v} d v = 2 ln ∣ v ∣

\int v d v = \frac{v ^{2}}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 v ^{2}} + 2 ln ∣ v ∣ + \frac{v ^{2}}{2})

Substituir na equação

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 tan ^{2} ( \frac{2 t - 3}{2} )} + 2 ln tan (\frac{2 t - 3}{2}) + \frac{tan ^{2} ( \frac{2 t - 3}{2} )}{2})

Simplificar

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 tan ^{2} ( \frac{2 t - 3}{2} )} + 2 ln tan (\frac{2 t - 3}{2}) + \frac{tan ^{2} ( \frac{2 t - 3}{2} )}{2}) : \frac{1}{16} (- cot^{2} (\frac{2 t - 3}{2}) + 4 ln tan (\frac{2 t - 3}{2}) + tan^{2} (\frac{2 t - 3}{2}))

= \frac{1}{16} (- cot^{2} (\frac{2 t - 3}{2}) + 4 ln tan (\frac{2 t - 3}{2}) + tan^{2} (\frac{2 t - 3}{2}))

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{16} (- cot^{2} (\frac{2 t - 3}{2}) + 4 ln tan (\frac{2 t - 3}{2}) + tan^{2} (\frac{2 t - 3}{2})) + C

Exemplos populares

integral de 2βx(1-x^2)^{β-1}

\int 2 β x (1 - x^{2})^{β - 1} d x

integral de sin(3x)*e^{-x}

\int sin (3 x) \cdot e^{- x} d x

integral de (sin(2t))

\int (sin (2 t)) d t

integral de 1/((x+9)^8)

\int \frac{1}{( x + 9 ) ^{8}} d x

integral de ((x+2))/(sqrt(9-x^2))

\int \frac{( x + 2 )}{9 - x ^{2}} d x