integral of (3x^2-2x+1)e^{-2x}

解

\int (3 x^{2} - 2 x + 1) e^{- 2 x} d x

- \frac{3}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{4} e^{- 2 x} + C

解答ステップ

\int (3 x^{2} - 2 x + 1) e^{- 2 x} d x

拡張

(3 x^{2} - 2 x + 1) e^{- 2 x} : 3 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}

= \int 3 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 3 e^{- 2 x} x^{2} d x - \int 2 e^{- 2 x} x d x + \int e^{- 2 x} d x

\int 3 e^{- 2 x} x^{2} d x = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}))

\int 2 e^{- 2 x} x d x = - e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

= 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})) - (- e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

簡素化

3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})) - (- e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \frac{1}{2} e^{- 2 x} : - \frac{3}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{4} e^{- 2 x}

= - \frac{3}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{4} e^{- 2 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{3}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{4} e^{- 2 x} + C