integral of (x^2-2x+4)e^{-4x+5}

解答

\int (x^{2} - 2 x + 4) e^{- 4 x + 5} d x

- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 5} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x + 5} x - \frac{29}{32} e^{- 4 x + 5} + C

求解步骤

\int (x^{2} - 2 x + 4) e^{- 4 x + 5} d x

乘开

(x^{2} - 2 x + 4) e^{- 4 x + 5} : e^{- 4 x + 5} x^{2} - 2 e^{- 4 x + 5} x + 4 e^{- 4 x + 5}

= \int e^{- 4 x + 5} x^{2} - 2 e^{- 4 x + 5} x + 4 e^{- 4 x + 5} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- 4 x + 5} x^{2} d x - \int 2 e^{- 4 x + 5} x d x + \int 4 e^{- 4 x + 5} d x

\int e^{- 4 x + 5} x^{2} d x = - \frac{1}{32} e^{- 4 x + 5} (8 x^{2} + 4 x + 1)

\int 2 e^{- 4 x + 5} x d x = 2 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 5} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x + 5})

\int 4 e^{- 4 x + 5} d x = - e^{- 4 x + 5}

= - \frac{1}{32} e^{- 4 x + 5} (8 x^{2} + 4 x + 1) - 2 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 5} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x + 5}) - e^{- 4 x + 5}

化简

- \frac{1}{32} e^{- 4 x + 5} (8 x^{2} + 4 x + 1) - 2 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x + 5} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x + 5}) - e^{- 4 x + 5} : - \frac{1}{4} e^{- 4 x + 5} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x + 5} x - \frac{29}{32} e^{- 4 x + 5}

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x + 5} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x + 5} x - \frac{29}{32} e^{- 4 x + 5}

解答补常数

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x + 5} x^{2} + \frac{3}{8} e^{- 4 x + 5} x - \frac{29}{32} e^{- 4 x + 5} + C

\int \frac{x ^{2}}{2 x + 12} d x

\int \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x

\int sin (x) \cdot e^{2 x} d x

\int (\frac{e ^{2 x} - e ^{x}}{e ^{x}}) d x

\int x (x^{2} - 7)^{10} d x