integral of sqrt(u^2-a^2)

Lösung

\int u^{2} - a^{2} d u

\frac{1}{2} u u^{2} - a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln (\frac{u + u ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣}) + C

Schritte zur Lösung

\int u^{2} - a^{2} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int a^{2} tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a^{2} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= a^{2} \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{2} (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= a^{2} (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Setze in

v = arcsec (\frac{1}{a} u)

ein

= a^{2} (- ln tan (arcsec (\frac{1}{a} u)) + sec (arcsec (\frac{1}{a} u)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{a} u)) tan (arcsec (\frac{1}{a} u)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{a} u)) + sec (arcsec (\frac{1}{a} u)))

Vereinfache

a^{2} (- ln tan (arcsec (\frac{1}{a} u)) + sec (arcsec (\frac{1}{a} u)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{a} u)) tan (arcsec (\frac{1}{a} u)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{a} u)) + sec (arcsec (\frac{1}{a} u))) : \frac{1}{2} u u^{2} - a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln (\frac{u + u ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣})

= \frac{1}{2} u u^{2} - a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln (\frac{u + u ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} u u^{2} - a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln (\frac{u + u ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣}) + C

\int \frac{1}{( 1 - 0.04 x ) ^{0.3}} d x

\int \frac{1}{( 4 x + 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{x}{( 4 x ^{2} - 5 ) ^{6}} d x

\int (e^{x} - 3 x^{2}) d x

\int 4 e^{- 2 t} + 4 d t