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integral of 5/(sqrt(k-x^2))

Lösung

\int \frac{5}{k - x ^{2}} d x

5 arcsin (\frac{x}{k}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{k - x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{k - x ^{2}} d x

k - x^{2} = k (1 - \frac{x ^{2}}{k})

= 5 \cdot \int \frac{1}{k ( 1 - \frac{x ^{2}}{k} )} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{x ^{2}}{k} = (\frac{x}{k})^{2}

= 5 \cdot \int \frac{1}{k ( 1 - ( \frac{x}{k} ) ^{2} )} d x

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

k (1 - (\frac{x}{k})^{2}) = k (1 - (\frac{x}{k})^{2})

= 5 \cdot \int \frac{1}{k 1 - ( \frac{x}{k} ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{k} \cdot \int \frac{1}{1 - ( \frac{x}{k} ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= 5 \cdot \frac{1}{k} \cdot \int \frac{k}{1 - u ^{2}} d u

\frac{k}{1 - u ^{2}} = k \frac{1}{1 - u ^{2}}

= 5 \cdot \frac{1}{k} \cdot \int k \frac{1}{1 - u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{k} k \cdot \int \frac{1}{1 - u ^{2}} d u

Vereinfache

\frac{1}{1 - u ^{2}} : \frac{1}{1 - u ^{2}}

= 5 \cdot \frac{1}{k} k \cdot \int \frac{1}{1 - u ^{2}} d u

Vereinfache

= 5 \cdot \frac{1}{k} k \cdot \int \frac{1}{1 - u ^{2}} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{1 - u ^{2}} d u = arcsin (u)

= 5 \cdot \frac{1}{k} k arcsin (u)

Setze in

u = \frac{x}{k}

ein

= 5 \cdot \frac{1}{k} k arcsin (\frac{x}{k})

Vereinfache

5 \cdot \frac{1}{k} k arcsin (\frac{x}{k}) : 5 arcsin (\frac{x}{k})

= 5 arcsin (\frac{x}{k})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 5 arcsin (\frac{x}{k}) + C

\int 30 (10 - x) e^{- \frac{x}{30}} d x

\int 8 cot (\frac{x}{2}) d x

\int sin^{2} (5 x) cos (5 x) d x

\int 9 x x^{2} - 1 d x

\int \frac{1}{7 cos ( x ) - 4 sin ( x ) + 8} d x