integral of sin^4(5x)*cos^2(5x)

Lösung

\int sin^{4} (5 x) \cdot cos^{2} (5 x) d x

\frac{1}{480} (30 x - 3 sin (10 x) - 4 sin^{3} (5 x) cos (5 x) + 16 sin^{5} (5 x) cos (5 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (5 x) cos^{2} (5 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) cos^{2} (u) \frac{1}{5} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int sin^{4} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{5} \cdot \int sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u)) d u

Multipliziere aus

sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u)) : sin^{4} (u) - sin^{6} (u)

= \frac{1}{5} \cdot \int sin^{4} (u) - sin^{6} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{5} (\int sin^{4} (u) d u - \int sin^{6} (u) d u)

\int sin^{4} (u) d u = - \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

\int sin^{6} (u) d u = - \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)) - (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))))

Setze in

u = 5 x

ein

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{4} sin^{3} (5 x) cos (5 x) + \frac{3}{8} (5 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 5 x)) - (- \frac{cos ( 5 x ) sin ^{5} ( 5 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (5 x) cos (5 x) + \frac{3}{8} (5 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 5 x)))))

Vereinfache

\frac{1}{5} (- \frac{1}{4} sin^{3} (5 x) cos (5 x) + \frac{3}{8} (5 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 5 x)) - (- \frac{cos ( 5 x ) sin ^{5} ( 5 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (5 x) cos (5 x) + \frac{3}{8} (5 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 5 x))))) : \frac{1}{480} (30 x - 3 sin (10 x) - 4 sin^{3} (5 x) cos (5 x) + 16 sin^{5} (5 x) cos (5 x))

= \frac{1}{480} (30 x - 3 sin (10 x) - 4 sin^{3} (5 x) cos (5 x) + 16 sin^{5} (5 x) cos (5 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{480} (30 x - 3 sin (10 x) - 4 sin^{3} (5 x) cos (5 x) + 16 sin^{5} (5 x) cos (5 x)) + C

\int π cos (n t) d t

\int \frac{1}{x ^{2} - 1 ^{2}} d x

\int \frac{4 x ^{3} - 8}{x ^{5}} d x

\int \frac{4}{t t ^{2} - 1} d t

\int \frac{3}{4} - \frac{1}{2 3 x} d x