intégrale de 0 a pi de x/pi cos(nx)

Solution

\int_{0}^{π} \frac{x}{π} cos (n x) d x

\frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{π n ^{2}}

étapes des solutions

\int_{0}^{π} \frac{x}{π} cos (n x) d x

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{π} x cos (n x) d x

Appliquer l'intégration par subsitution

= \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{nπ} \frac{u cos ( u )}{n ^{2}} d u

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n ^{2}} \cdot \int_{0}^{nπ} u cos (u) d u

Appliquer une intégration par parties

= \frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) - \int sin (u) d u]_{0}^{πn}

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) - (- cos (u))]_{0}^{πn}

Simplifier

\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) - (- cos (u))]_{0}^{πn} : \frac{1}{π n ^{2}} [u sin (u) + cos (u)]_{0}^{πn}

= \frac{1}{π n ^{2}} [u sin (u) + cos (u)]_{0}^{πn}

Calculer les limites:

(- 1)^{n} - 1

= \frac{1}{π n ^{2}} ((- 1)^{n} - 1)

Simplifier

= \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{π n ^{2}}

\int_{1}^{2} (x^{2} + 4) d x

\int_{0}^{2 π} 6 x 2 d x

\int_{1}^{2} (\frac{x ^{2}}{4} + 1) d x

\int_{0}^{10} x e^{- x^{2}} d x

\int_{6}^{10} 3 x^{2} + 1 d x