inverselaplace 1/(s^3-2s^2+3s)

解

逆ラプラス

\frac{1}{s ^{3} - 2 s ^{2} + 3 s}

\frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3 2} e^{t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3} - 2 s ^{2} + 3 s}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{s ^{3} - 2 s ^{2} + 3 s} : \frac{1}{3 s} + \frac{- s + 2}{3 ( s ^{2} - 2 s + 3 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s} + \frac{- s + 2}{3 ( s ^{2} - 2 s + 3 )}}

拡張

\frac{- s + 2}{3 ( s ^{2} - 2 s + 3 )} : - \frac{1}{3} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s} - \frac{1}{3} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s}} - \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}} + \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}}

L^{- 1} {\frac{1}{3 s}} : \frac{1}{3} H (t)

L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}} : e^{t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}} : e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3 2} e^{t} sin (2 t)

= \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3 2} e^{t} sin (2 t)