integral of (2sin(x)cos(x))/(1+sin^2(x))

Lösung

\int \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

ln 1 + sin^{2} (x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{sin ( 2 x )}{2 ( 1 + sin ^{2} ( x ) )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sin ( 2 x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln ∣ u ∣

Setze in

u = 1 + sin^{2} (x)

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln 1 + sin^{2} (x)

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} ln 1 + sin^{2} (x) : ln 1 + sin^{2} (x)

= ln 1 + sin^{2} (x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln 1 + sin^{2} (x) + C

\int (x^{2} + x + 1)^{2} d x

y^{^{''}} - y^{^{'}} - 56 y = 0

t an g e n t \frac{3 x - 1}{e ^{x}}

\frac{\partial}{\partial x} (1 - \frac{y}{x})

d er i v a t i v e x (cos (x^{2}))