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Beliebt Trigonometrie >

3sec^2(x)-5=4tan(x)

Lösung

3 sec^{2} (x) - 5 = 4 tan (x)

Lösung

x = 1.04436 \dots + πn, x = - 0.36961 \dots + πn

Grad

x = 59.83746 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 21.17765 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sec^{2} (x) - 5 = 4 tan (x)

Subtrahiere

4 tan (x)

von beiden Seiten

3 sec^{2} (x) - 5 - 4 tan (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 3 sec^{2} (x) - 4 tan (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= - 5 + 3 (tan^{2} (x) + 1) - 4 tan (x)

Vereinfache

- 5 + 3 (tan^{2} (x) + 1) - 4 tan (x) : 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) - 2

- 5 + 3 (tan^{2} (x) + 1) - 4 tan (x)

Multipliziere aus

3 (tan^{2} (x) + 1) : 3 tan^{2} (x) + 3

3 (tan^{2} (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = tan^{2} (x), c = 1

= 3 tan^{2} (x) + 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 tan^{2} (x) + 3

= - 5 + 3 tan^{2} (x) + 3 - 4 tan (x)

Vereinfache

- 5 + 3 tan^{2} (x) + 3 - 4 tan (x) : 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) - 2

- 5 + 3 tan^{2} (x) + 3 - 4 tan (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) - 5 + 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 3 = - 2

= 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) - 2

= 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) - 2

= 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) - 2

- 2 + 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + 3 tan^{2} (x) - 4 tan (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

- 2 + 3 u^{2} - 4 u = 0

- 2 + 3 u^{2} - 4 u = 0 : u = \frac{2 + 10}{3}, u = \frac{2 - 10}{3}

- 2 + 3 u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 2 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 2 )}{2 \cdot 3}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 3 (- 2) = 210

(- 4)^{2} - 4 \cdot 3 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 4^{2} + 24

4^{2} = 16

= 16 + 24

Addiere die Zahlen:

16 + 24 = 40

= 40

Primfaktorzerlegung von

40 : 2^{3} \cdot 5

40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 5

Fasse zusammen

= 210

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 10}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 10}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 10}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 10}{2 \cdot 3} : \frac{2 + 10}{3}

\frac{- ( - 4 ) + 2 10}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 2 10}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 + 2 10}{6}

Faktorisiere

4 + 210 : 2 (2 + 10)

4 + 210

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 10)

= \frac{2 ( 2 + 10 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 + 10}{3}

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 10}{2 \cdot 3} : \frac{2 - 10}{3}

\frac{- ( - 4 ) - 2 10}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 2 10}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4 - 2 10}{6}

Faktorisiere

4 - 210 : 2 (2 - 10)

4 - 210

Schreibe um

= 2 \cdot 2 - 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 10)

= \frac{2 ( 2 - 10 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 - 10}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 + 10}{3}, u = \frac{2 - 10}{3}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = \frac{2 + 10}{3}, tan (x) = \frac{2 - 10}{3}

tan (x) = \frac{2 + 10}{3}, tan (x) = \frac{2 - 10}{3}

tan (x) = \frac{2 + 10}{3} : x = arctan (\frac{2 + 10}{3}) + πn

tan (x) = \frac{2 + 10}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{2 + 10}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{2 + 10}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{2 + 10}{3}) + πn

x = arctan (\frac{2 + 10}{3}) + πn

tan (x) = \frac{2 - 10}{3} : x = arctan (\frac{2 - 10}{3}) + πn

tan (x) = \frac{2 - 10}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{2 - 10}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{2 - 10}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (\frac{2 - 10}{3}) + πn

x = arctan (\frac{2 - 10}{3}) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (\frac{2 + 10}{3}) + πn, x = arctan (\frac{2 - 10}{3}) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.04436 \dots + πn, x = - 0.36961 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

4tan^2(x)+5tan(x)=6

4 tan^{2} (x) + 5 tan (x) = 6

cos(2x)= 1/3

cos (2 x) = \frac{1}{3}

2sin^2(x)-5sin(x)+3=0

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 3 = 0

-2sin(x)+cos(2x)=1

- 2 sin (x) + cos (2 x) = 1

4cos(x)tan(x)-3tan(x)=0

4 cos (x) tan (x) - 3 tan (x) = 0