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Beliebt Trigonometrie >

cos(θ)-sqrt(3)sin(θ)=1

Lösung

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

Lösung

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Grad

θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

Füge

3 sin (θ)

zu beiden Seiten hinzu

cos (θ) = 1 + 3 sin (θ)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (θ) = (1 + 3 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(1 + 3 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (θ) - 1 - 23 sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos^{2} (θ) - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 3 sin^{2} (θ) - 23 sin (θ) - sin^{2} (θ)

Vereinfache

= - 4 sin^{2} (θ) - 23 sin (θ)

- 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3 = 0

Löse mit Substitution

- 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3 = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 23, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0 = 23

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 0

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 0 = 0

4 \cdot 4 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 2^{2} \cdot 3 + 0

2^{2} \cdot 3 + 0 = 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b,

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 2 3}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 + 2 3}{- 2 \cdot 4}

Addiere gleiche Elemente:

23 + 23 = 43

= \frac{4 3}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 3}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 3}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )} : 0

\frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 - 2 3}{- 2 \cdot 4}

Addiere gleiche Elemente:

23 - 23 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{0}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{8}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{2}, u = 0

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2} : θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

ein, um zu lösen

cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

ein, um zu lösen

cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

2 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

θ = 2 π 1

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

ein, um zu lösen

cos (2 π 1) - 3 sin (2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

θ = π + 2 π 1

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

ein, um zu lösen

cos (π + 2 π 1) - 3 sin (π + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec(x)= 1/2

sec (x) = \frac{1}{2}

2cos^2(x)=sin(x)+1

2 cos^{2} (x) = sin (x) + 1

csch(x)= 5/12

csch (x) = \frac{5}{12}

2sin^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

2 sin^{2} (x) + sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

3csc^2(5x)=-4

3 csc^{2} (5 x) = - 4