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人気のある三角関数 >

4cos(2θ)+12=-2cos(θ)+9

解

4 cos (2 θ) + 12 = - 2 cos (θ) + 9

解

θ = 1.31811 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

+1

度

θ = 75.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 284.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 cos (2 θ) + 12 = - 2 cos (θ) + 9

両辺から

- 2 cos (θ) + 9

を引く

4 cos (2 θ) + 2 cos (θ) + 3 = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

3 + 2 cos (θ) + 4 cos (2 θ)

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 + 2 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

簡素化

3 + 2 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

3 + 2 cos (θ) + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

拡張

4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

簡素化

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 3 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4

簡素化

3 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4 : 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

3 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) - 4

条件のようなグループ

= 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) + 3 - 4

数を足す/引く:

3 - 4 = - 1

= 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

= 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

= 8 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 1

- 1 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

置換で解く

- 1 + 2 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 1 + 2 u + 8 u^{2} = 0

- 1 + 2 u + 8 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{2}

- 1 + 2 u + 8 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 2 u - 1 = 0

解くとthe二次式

8 u^{2} + 2 u - 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 8, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 1 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 1 )}{2 \cdot 8}

2^{2} - 4 \cdot 8 (- 1) = 6

2^{2} - 4 \cdot 8 (- 1)

規則を適用

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 8 \cdot 1 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

数を足す:

4 + 32 = 36

= 36

数を因数に分解する:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 8}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 8} : \frac{1}{4}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 8}

数を足す/引く:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 8}

数を乗じる:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4}{16}

共通因数を約分する:

4

= \frac{1}{4}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 8} : - \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 8}

数を引く:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 8}

数を乗じる:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{16}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{16}

共通因数を約分する:

8

= - \frac{1}{2}

二次equationの解:

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{2}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{1}{4}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{4}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{4} : θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{1}{4}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

以下の一般解

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 1.31811 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

グラフ

人気の例

sin^{2} (2 θ) = 1

sin (x) = \frac{6}{7}

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1}{2}

4cos(θ)-2sqrt(2)=0

4 cos (θ) - 22 = 0

4 cos (4 x) = 0