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csc^2(θ)+7csc(θ)+12=0

Solución

csc^{2} (θ) + 7 csc (θ) + 12 = 0

Solución

θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn, θ = - 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π + 0.25268 \dots + 2 πn

Grados

θ = - 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 199.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 194.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

csc^{2} (θ) + 7 csc (θ) + 12 = 0

Usando el método de sustitución

csc^{2} (θ) + 7 csc (θ) + 12 = 0

Sea:

csc (θ) = u

u^{2} + 7 u + 12 = 0

u^{2} + 7 u + 12 = 0 : u = - 3, u = - 4

u^{2} + 7 u + 12 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} + 7 u + 12 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 7, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}{2 \cdot 1}

7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1

7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 12 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Restar:

49 - 48 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 1}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 7 + 1}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 7 - 1}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 7 + 1}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 7 + 1}{2 \cdot 1}

Sumar/restar lo siguiente:

- 7 + 1 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{2}

Dividir:

\frac{6}{2} = 3

= - 3

u = \frac{- 7 - 1}{2 \cdot 1} : - 4

\frac{- 7 - 1}{2 \cdot 1}

Restar:

- 7 - 1 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 8}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{2}

Dividir:

\frac{8}{2} = 4

= - 4

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 3, u = - 4

Sustituir en la ecuación

u = csc (θ)

csc (θ) = - 3, csc (θ) = - 4

csc (θ) = - 3, csc (θ) = - 4

csc (θ) = - 3 : θ = arccsc (- 3) + 2 πn, θ = π + arccsc (3) + 2 πn

csc (θ) = - 3

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (θ) = - 3

Soluciones generales para

csc (θ) = - 3

csc (x) = - a \Rightarrow x = arccsc (- a) + 2 πn, x = π + arccsc (a) + 2 πn

θ = arccsc (- 3) + 2 πn, θ = π + arccsc (3) + 2 πn

θ = arccsc (- 3) + 2 πn, θ = π + arccsc (3) + 2 πn

csc (θ) = - 4 : θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

csc (θ) = - 4

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (θ) = - 4

Soluciones generales para

csc (θ) = - 4

csc (x) = - a \Rightarrow x = arccsc (- a) + 2 πn, x = π + arccsc (a) + 2 πn

θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccsc (- 3) + 2 πn, θ = π + arccsc (3) + 2 πn, θ = arccsc (- 4) + 2 πn, θ = π + arccsc (4) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn, θ = - 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π + 0.25268 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

2sin(x)+(2-sqrt(2))=sqrt(2)csc(x)

2 sin (x) + (2 - 2) = 2 csc (x)

3cos(5x)=2

3 cos (5 x) = 2

2sin^2(θ)+cos(θ)-1=0

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1 = 0

3sin^2(x)+sin(x)-2=0

3 sin^{2} (x) + sin (x) - 2 = 0

6sin^2(θ)-sin(θ)-2=0,0<= θ<= 2pi

6 sin^{2} (θ) - sin (θ) - 2 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π