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人気のある三角関数 >

(4cos(θ)-1)/(tan(θ))=2sin(θ)

解

\frac{4 cos ( θ ) - 1}{tan ( θ )} = 2 sin (θ)

解

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

+1

度

θ = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

\frac{4 cos ( θ ) - 1}{tan ( θ )} = 2 sin (θ)

両辺から

2 sin (θ)

を引く

\frac{4 cos ( θ ) - 1}{tan ( θ )} - 2 sin (θ) = 0

簡素化

\frac{4 cos ( θ ) - 1}{tan ( θ )} - 2 sin (θ) : \frac{4 cos ( θ ) - 1 - 2 sin ( θ ) tan ( θ )}{tan ( θ )}

\frac{4 cos ( θ ) - 1}{tan ( θ )} - 2 sin (θ)

元を分数に変換する:

2 sin (θ) = \frac{2 sin ( θ ) tan ( θ )}{tan ( θ )}

= \frac{4 cos ( θ ) - 1}{tan ( θ )} - \frac{2 sin ( θ ) tan ( θ )}{tan ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 cos ( θ ) - 1 - 2 sin ( θ ) tan ( θ )}{tan ( θ )}

\frac{4 cos ( θ ) - 1 - 2 sin ( θ ) tan ( θ )}{tan ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (θ) - 1 - 2 sin (θ) tan (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + 4 cos (θ) - 2 sin (θ) tan (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + 4 cos (θ) - 2 sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

2 sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

2 sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) \cdot 2 sin (θ) = 2 sin^{2} (θ)

sin (θ) \cdot 2 sin (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 sin^{1 + 1} (θ)

数を足す:

1 + 1 = 2

= 2 sin^{2} (θ)

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= - 1 + 4 cos (θ) - \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - \frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ( θ )} + 4 cos (θ)

分数を組み合わせる

- \frac{2 ( - cos ^{2} ( θ ) + 1 )}{cos ( θ )} + 4 cos (θ) : \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

- \frac{2 ( - cos ^{2} ( θ ) + 1 )}{cos ( θ )} + 4 cos (θ)

元を分数に変換する:

4 cos (θ) = \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ( θ )} + \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 ( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) + 4 cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos (θ) cos (θ) = - 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos^{2} (θ)

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos (θ) cos (θ)

4 cos (θ) cos (θ) = 4 cos^{2} (θ)

4 cos (θ) cos (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 4 cos^{1 + 1} (θ)

数を足す:

1 + 1 = 2

= 4 cos^{2} (θ)

= - 2 (- cos^{2} (θ) + 1) + 4 cos^{2} (θ)

= \frac{- 2 ( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) + 4 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

拡張

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos^{2} (θ) : - 2 + 6 cos^{2} (θ)

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos^{2} (θ)

拡張

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) : - 2 + 2 cos^{2} (θ)

- 2 (1 - cos^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (θ)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (θ)

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (θ)

= - 2 + 2 cos^{2} (θ) + 4 cos^{2} (θ)

類似した元を足す:

2 cos^{2} (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 6 cos^{2} (θ)

= - 2 + 6 cos^{2} (θ)

= \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} - 1

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} = 0

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} = 0

置換で解く

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0 : u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

以下で両辺を乗じる:

u

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

以下で両辺を乗じる:

u

- 1 \cdot u + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u = 0 \cdot u

簡素化

- 1 \cdot u + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u = 0 \cdot u

簡素化

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

乗算:

1 \cdot u = u

= - u

簡素化

\frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u : - 2 + 6 u^{2}

\frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 + 6 u ^{2} ) u}{u}

共通因数を約分する:

u

= - - 2 + 6 u^{2}

簡素化

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

解く

- u - 2 + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - u - 2 = 0

解くとthe二次式

6 u^{2} - u - 2 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 6, b = - 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 2 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 2 )}{2 \cdot 6}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 2) = 7

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 2)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

規則を適用

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

4 \cdot 6 \cdot 2

数を乗じる:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 48

= 1 + 48

数を足す:

1 + 48 = 49

= 49

数を因数に分解する:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 \cdot 6}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{1 + 7}{2 \cdot 6}

数を足す:

1 + 7 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 6}

数を乗じる:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{8}{12}

共通因数を約分する:

4

= \frac{2}{3}

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{1 - 7}{2 \cdot 6}

数を引く:

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 6}

数を乗じる:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{12}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

共通因数を約分する:

6

= - \frac{1}{2}

二次equationの解:

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

解を検算する

未定義の (特異) 点を求める:

u = 0

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u}

の分母をゼロに比較する

u = 0

以下の点は定義されていない

u = 0

未定義のポイントを解に組み合わせる:

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{2}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{2}{3} : θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{2}{3}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

以下の一般解

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

グラフ

人気の例

-2sin^2(x)-cos(x)=-1,0<= x<360

- 2 sin^{2} (x) - cos (x) = - 1, 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}

cos^2(θ)-3cos(θ)+2=sin^2(θ)

cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2 = sin^{2} (θ)

sin(x)-cos^2(x)-1=0

sin (x) - cos^{2} (x) - 1 = 0

2+2sin(θ)=-4sin(θ)

2 + 2 sin (θ) = - 4 sin (θ)

cos(θ)=((5))/((13))

cos (θ) = \frac{( 5 )}{( 13 )}