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solvefor θ,2sin(θ)=2cos(2θ)

Solución

resolver para

θ, 2 sin (θ) = 2 cos (2 θ)

Solución

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grados

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin (θ) = 2 cos (2 θ)

Restar

2 cos (2 θ)

de ambos lados

2 sin (θ) - 2 cos (2 θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 cos (2 θ) + 2 sin (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 2 (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 sin (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 2 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) \cdot 2 + 2 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- (1 - 2 u^{2}) \cdot 2 + 2 u = 0

- (1 - 2 u^{2}) \cdot 2 + 2 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- (1 - 2 u^{2}) \cdot 2 + 2 u = 0

Desarrollar

- (1 - 2 u^{2}) \cdot 2 + 2 u : - 2 + 4 u^{2} + 2 u

- (1 - 2 u^{2}) \cdot 2 + 2 u

= - 2 (1 - 2 u^{2}) + 2 u

Expandir

- 2 (1 - 2 u^{2}) : - 2 + 4 u^{2}

- 2 (1 - 2 u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = 2 u^{2}

= - 2 \cdot 1 - (- 2) \cdot 2 u^{2}

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2} : - 2 + 4 u^{2}

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2} + 2 u

- 2 + 4 u^{2} + 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Sumar:

4 + 32 = 36

= 36

Descomponer el número en factores primos:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

Restar:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Soluciones generales para

sin (θ) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

sec(θ)+4=4sec(θ)

sec (θ) + 4 = 4 sec (θ)

sin(2x)-4*cos(x)=0

sin (2 x) - 4 \cdot cos (x) = 0

5tan(θ)+3=0

5 tan (θ) + 3 = 0

sin(θ)=-4/7 ,pi<θ<(3pi)/2 ,cos(2θ)

sin (θ) = - \frac{4}{7}, π < θ < \frac{3 π}{2}, cos (2 θ)

tan(θ)=-2/5

tan (θ) = - \frac{2}{5}